En analysant attentivement
un cours de mathématique (ou un livre) on constate que son contenu se développe
en passant par les trois étapes élémentaires suivantes :
1. La construction des objets
mathématiques : nombres, fonctions, ensembles, figures géométriques ... C’est l’étape
préliminaire de définition et d’introduction d’objets mathématiques.
2. La formation de relations
entre les objets mathématiques construits en respectant un ensemble de règles
et de lois logiques. C’est l’étape de formulation des propositions et des théorèmes
mathématiques.
3. La démonstration des théorèmes.
C’est l’étape de validation des propositions qui sont logiquement vraies.
D’habitude, l’homme construit
les objets mathématiques dans le but de comprendre, de d'écrire, de modéliser,
de calculer et de prédire les phénomènes naturelles (physique, économique, sociologique,
météorologique...) et par la suite en découvrir les lois qui les gouvernent.
Les objets mathématiques sont donc crées par l’homme pour résoudre des
problèmes vécus au quotidien et non pas pour répondre ou satisfaire un plaisir
intellectuel personnel.
En mathématique on entend par
théorème toute relation entre les objets mathématiques
qui soit logiquement vraie. La
méthode qui permet de justifier qu’un théorème donné est vari s’appelle
raisonnement mathématique ou démonstration.
En général, la démonstration
d’un théorème se développe en utilisant des notions mathématiques logiquement
évidentes (les axiomes) tout en respectant les règles de la logique
mathématique. Une démonstration
peut faire aussi appeler à d’autres théorèmes démontrés
auparavant, donc considérés
comme des notions mathématiques acquises.
Grosso modo les théorèmes en
mathématique se divisent en quatre types :
1. Le lemme : est un théorème
dont la démonstration prépare la démonstration d’un
autre théorème très important.
2. Le corollaire : est un
théorème qu’on déduit de façon presque immédiate à partir d’un théorème déjà démontré.
3. Théorème d’existence : est un
théorème qui énonce l’existence d’un objet mathématique répondant à une
certaine question ou possédant une propriété particulière.
La démonstration de tels théorèmes
se fait soit de façon inductive ou soit de façon
constructive.
4. Théorème d’unicité : est un théorème
qui énonce l’existance d’un seul objet mathématique vérifiant certaines propriétés
ou lois logiques bien déterminées.
Dans ce chapitre, on donnera les
outils de la logique mathématique nécessaires pour développer les démonstrations
rigoureuses des théorèmes proposés.
Concernant l’apprentissage des méthodes
de construction d’objets mathématiques et la formulation des théorèmes ce sont
des habilités qui se dévelepperont chez l’étudiant avec le temps et au fur et à
mesure qu’en assistant au cours et aux travaux dirigés (ou par fois en participant
aux travaux partiques), ces habilités s’acquièrent aussi et se perfectionnent
en lisant les livres de mathématique écrits par des mathématiciens expérimentés.
