cours de Mathématiques

 En analysant attentivement un cours de mathématique (ou un livre) on constate que son contenu se développe en passant par les trois étapes élémentaires suivantes :

1. La construction des objets mathématiques : nombres, fonctions, ensembles, figures géométriques ... C’est l’étape préliminaire de définition et d’introduction d’objets mathématiques.

2. La formation de relations entre les objets mathématiques construits en respectant un ensemble de règles et de lois logiques. C’est l’étape de formulation des propositions et des théorèmes mathématiques.

3. La démonstration des théorèmes. C’est l’étape de validation des propositions qui sont logiquement vraies.

D’habitude, l’homme construit les objets mathématiques dans le but de comprendre, de d'écrire, de modéliser, de calculer et de prédire les phénomènes naturelles (physique, économique, sociologique, météorologique...) et par la suite en découvrir les lois qui les gouvernent. Les objets mathématiques sont donc crées par l’homme pour résoudre des problèmes vécus au quotidien et non pas pour répondre ou satisfaire un plaisir intellectuel personnel.

En mathématique on entend par théorème toute relation entre les objets mathématiques

qui soit logiquement vraie. La méthode qui permet de justifier qu’un théorème donné est vari s’appelle raisonnement mathématique ou démonstration.

En général, la démonstration d’un théorème se développe en utilisant des notions mathématiques logiquement évidentes (les axiomes) tout en respectant les règles de la logique

mathématique. Une démonstration peut faire aussi appeler  à d’autres théorèmes démontrés

auparavant, donc considérés comme des notions mathématiques acquises.

Grosso modo les théorèmes en mathématique se divisent en quatre types :

1. Le lemme : est un théorème dont la démonstration prépare la démonstration d’un

autre théorème très important.

2. Le corollaire : est un théorème qu’on déduit de façon presque immédiate à partir d’un théorème déjà démontré.

3. Théorème d’existence : est un théorème qui énonce l’existence d’un objet mathématique répondant à une certaine question ou possédant une propriété particulière.

La démonstration de tels théorèmes se fait soit de façon inductive ou soit de façon

constructive.

4. Théorème d’unicité : est un théorème qui énonce l’existance d’un seul objet mathématique vérifiant certaines propriétés ou lois logiques bien déterminées.

Dans ce chapitre, on donnera les outils de la logique mathématique nécessaires pour développer les démonstrations rigoureuses des théorèmes proposés.

Concernant l’apprentissage des méthodes de construction d’objets mathématiques et la formulation des théorèmes ce sont des habilités qui se dévelepperont chez l’étudiant avec le temps et au fur et à mesure qu’en assistant au cours et aux travaux dirigés (ou par fois en participant aux travaux partiques), ces habilités s’acquièrent aussi et se perfectionnent en lisant les livres de mathématique écrits par des mathématiciens expérimentés.